feat(gateway): 프로필별 첫 기수 번호를 관리한다

첫 기수 번호를 완료 게임 수의 기준값으로 적용하고 0기를 API와 화면에서 보존한다. 시즌 번호와 독립된 RESET 계약을 관리 패널, 테스트, 운영 문서에 반영한다.

app/game-api/test/lobbyRouter.test.ts

@@ -70,6 +70,12 @@ describe('lobby season state', () => {
         expect(result.clockMode).toBe('manual');
     });
 
+    it('preserves zero as the first official game index', async () => {
+        const result = await appRouter.createCaller(buildContext({ gameIdx: 0 })).lobby.info();
+
+        expect(result.gameIdx).toBe(0);
+    });
+
     it('projects the Ref-compatible opening announcement settings without exposing disabled autorun options', async () => {
         const result = await appRouter
             .createCaller(