feat: 메인 현재 시각을 최근 통신 기준으로 갱신

완료 턴 시각 대신 lobby serverTime을 분 경계에 맞춰 표시한다. 게임 API 응답과 SSE 및 같은 계정 탭 전달을 최근 통신으로 기록하고, 45초 공백에는 시계를 멈춘다. 공통 시계 투영과 단위 및 Chromium 회귀 검증을 추가한다.

app/game-frontend/src/utils/gameServerActivity.ts

@@ -0,0 +1,34 @@
+import { readonly, ref, type Ref } from 'vue';
+
+export const GAME_SERVER_ACTIVITY_FRESHNESS_MS = 45_000;
+
+export type GameServerActivityTracker = {
+    lastContactAt: Readonly<Ref<number | null>>;
+    markContact: (contactAt?: number) => void;
+};
+
+export const createGameServerActivityTracker = (): GameServerActivityTracker => {
+    const lastContactAt = ref<number | null>(null);
+
+    return {
+        lastContactAt: readonly(lastContactAt),
+        markContact(contactAt = Date.now()) {
+            if (!Number.isFinite(contactAt)) return;
+            lastContactAt.value = contactAt;
+        },
+    };
+};
+
+export const isRecentGameServerActivity = (
+    lastContactAt: number | null,
+    now = Date.now(),
+    freshnessMs = GAME_SERVER_ACTIVITY_FRESHNESS_MS
+): boolean =>
+    lastContactAt !== null &&
+    Number.isFinite(lastContactAt) &&
+    Number.isFinite(now) &&
+    Math.max(0, now - lastContactAt) <= freshnessMs;
+
+export const gameServerActivity = createGameServerActivityTracker();
+
+export const markGameServerContact = (contactAt = Date.now()) => gameServerActivity.markContact(contactAt);